Lineer Cebir · Kolman & Hill, Bölüm 4 · çalışma defteri
Lineer Cebir Defteri
Vektör uzayları bölümünün sadeleştirilmiş hâli. Bugünkü derste lineer bağımsızlık bitti, taban ve boyuta başlandı. Burada hepsi sırayla, bol örnekle. Terimlerin İngilizcesi de yanında, çünkü sınav İngilizce.
1. Konu 0'dan başlaBu bölümdeki hemen her soru sonunda bir satır indirgemeye (row reduction) çıkıyor. O sağlamsa gerisi kolay.
2. Önce kendin dene"Sen dene" kutularında cevabını yaz ya da şıkkı seç. Takılırsan çözüme bak.
4. Renk kapısıHer doğru cevap +1, her biten konu +3 jeton. Jetonlar bulmacayla ortak: sağ alttaki butondan oyuna geç.
matris gördün diye korkma, hep aynı 3 hamle ♡
Konu 0 · Alet çantası
Satır indirgeme: her sorunun son adımı
Row reduction, echelon form, free variables
kısacaBir denklem sistemini matrise yazıp üç basit hamleyle merdiven şekline getiriyoruz. Sonra cevabı aşağıdan yukarı okuyoruz. Bu bölümde "bağımsız mı?", "span içinde mi?", "taban mı?" sorularının hepsi buna çıkıyor.
Üç hamle (elementary row operations)
Hamle
Notlardaki yazılış
Ne yapıyor?
Yer değiştir
İki satırın yerini değiştirir. Başa 1 getirmek için kullan.
Çarp
Bir satırı sıfır olmayan bir sayıyla çarpar.
Ekle
Bir satırın katını başka satıra ekler. Sıfır üretmek için kullan.
bu üç hamle çözümü değiştirmez, sadece sistemi okunur hâle getirir
Hedef: merdiven (echelon form)
Her satırın ilk sıfır olmayan sayısına pivot (leading entry) denir. Merdivende pivotlar sağa ve aşağı doğru iner, pivotun altı hep sıfırdır. Pivotların üstünü de sıfırlarsan ve pivotları 1 yaparsan buna reduced row echelon form (RREF) denir.
Pembe olanlar pivot. Pivot olmayan sütunun değişkeni serbest değişken (free variable) olur.
Strateji: soldan sağa, yukarıdan aşağı
İlk sütunda başa 1 getir (gerekirse satır değiştir).
O 1'i kullanarak altındaki bütün sayıları sıfırla.
Bir alt satıra ve bir sağ sütuna geç, aynısını yap.
Bitince: hiç serbest değişken yoksa tek çözüm, varsa sonsuz çözüm. gibi bir satır çıkarsa çözüm yok.
Sağ taraf hep 0 olduğu için yazmadık (homojen sistemde bu serbest). Son matristen: ve . Üçüncü sütunda pivot yok, yani serbest:
Sonsuz çözüm var. Mesela için .
Homojen sistem
Sağ tarafı tamamen 0 olan sisteme homojen (homogeneous) denir. Hepsi sıfır, yani her zaman bir çözümdür (trivial solution). Asıl soru: başka çözüm var mı? Serbest değişken varsa var. Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazlaysa kesin var.
row echelon form merdiven biçimipivot / leading entry pivotfree variable serbest değişkentrivial solution sıfır çözümconsistent çözümü olaninconsistent çözümsüz
sen dene
Bir homojen sistemin RREF'i . Kaç serbest değişken var?
Çözüm
Pivotlar 1. ve 2. sütunda. 3. sütunda pivot yok, yani serbest: 1 serbest değişken.
sen dene
Aynı sistemde seçersen kaç olur?
Çözüm
1. satır: → .
sen dene
4 bilinmeyenli, 3 denklemli bir homojen sistem için hangisi kesin doğru?
Neden?
En fazla 3 pivot olabilir (3 satır var) ama 4 sütun var. En az 1 sütunda pivot yok, yani serbest değişken var, yani sonsuz çözüm. Homojen sistem hiçbir zaman çözümsüz olmaz, çünkü sıfır çözümü hep vardır.
Ek örnekler
ExRREF şu çıktı: . Çözüm?
İkinci satır "" diyor, yani . İmkânsız: sistem çözümsüz (inconsistent). Bu satır homojen sistemde asla çıkmaz, çünkü sağ taraf hep 0.
Ex
İkinci denklem birincinin 2 katı. İndirgeyince ikinci satır tamamen sıfır olur: , . serbest, . Sonsuz çözüm.
sen dene
RREF ise ?
Çözüm
Her sütunda pivot var, tek çözüm: 4. Sağ sütunu doğrudan oku.
Konu 1 · Isınma
Vektörler ve iki işlem
Vectors in Rn · 4.1
kısaca'de bir vektör, alt alta yazılmış n tane sayıdır. Bütün bölüm boyunca sadece iki işlem yapacağız: toplama ve sayıyla çarpma. İkisi de bileşen bileşen yapılır.
Sayıya skaler (scalar) denir. Skalerle çarpmak vektörü uzatır, kısaltır ya da (eksiyse) ters çevirir.
Sıfır vektörü her bileşeni 0 olan vektördür. 'nun negatifi, bütün işaretleri ters çevirir ve .
Vektörler bazen satır olarak da yazılır: . Anlamı aynı. Notlarda ikisini de göreceksin.
Bütün bölüm şu soruların etrafında dönüyor: "Bu vektör, şu vektörlerin bir lineer kombinasyonu mu?" ve "Sıfırı sıfır olmayan katsayılarla elde edebilir miyim?"
sen dene
, . vektörünün ikinci bileşeni kaç?
Çözüm
. Çıkar: . İkinci bileşen −4.
sen dene
olması için kaç olmalı?
Çözüm
Birinci bileşen: → . Kontrol: ✓
Ek örnekler
sen dene
vektörünün üçüncü bileşeni?
Çözüm
4. Bütün vektör: .
sen dene
ise ?
Çözüm
, . Topla: , , −1.
Konu 2 · Tanım
Vektör uzayı: kuralları sağlayan küme
Real vector spaces · 4.2 · Definition 4.4
kısacaVektör uzayı, içinde toplama ve skalerle çarpma yapabildiğin ve sonucun hep kümenin içinde kaldığı bir kümedir. Ayrıca alıştığımız hesap kuralları geçerli olmalı. "Vektör" artık ok olmak zorunda değil: polinomlar ve matrisler de vektör olabilir.
Tanımın iki kapanma şartı
(a) toplamaya göre kapalı (closed under addition), (b) skalerle çarpmaya göre kapalı (closed under scalar multiplication).
Bunlara ek olarak 8 hesap kuralı (axiom) gerekir. Ezberlemek yerine anlamını bil, sınavda genelde hangisinin bozulduğunu soruyorlar:
Kural
Anlamı
(1)
Toplamada sıra önemsiz
(2)
Parantez önemsiz
(3)
Sıfır vektörü var
(4)
Her vektörün negatifi var
(5)
Sayı paranteze dağılır
(6)
Vektör paranteze dağılır
(7)
Art arda çarpma
(8)
1 ile çarpmak değiştirmez
Bilmen gereken dört uzay
Uzay
İçindekiler
Örnek eleman
n bileşenli vektörler
derecesi en fazla n olan polinomlar (sıfır polinomu dahil)
: , ya da sadece
m×n matrisler
:
sadece sıfır vektörü
en küçük vektör uzayı
Vektör uzayı OLMAYAN örnekler
ExDerecesi tam olarak 2 olan polinomlar bir vektör uzayı mı?
Hayır. ve ikisi de 2. dereceden, ama toplamları 1. dereceden. Toplama kümenin dışına çıktı, yani (a) bozuldu. Ayrıca sıfır polinomu da kümede yok. ("en fazla 2") ise bir vektör uzayıdır.
Ex'de ilk çeyrek:
Hayır. içeride ama dışarıda. (b) bozuldu.
İlk bakılacak yer
Bir kümenin vektör uzayı olmadığını göstermek için tek bir somut karşı örnek yeter. Önce sıfır vektörü içinde mi? diye bak. Değilse bitti. Sonra iki elemanı topla ya da −1 ile çarp.
vector space vektör uzayıclosed under … altında kapalıscalar skaler, sayızero vector sıfır vektörünegative ters (negatif) vektörcounterexample karşı örnek
sen dene
Determinantı 0 olan 2×2 matrisler toplamaya göre kapalı mı?
Karşı örnek
ve ikisinin de determinantı 0. Toplamları birim matris, onun determinantı 1. Toplam kümenin dışına çıktı.
sen dene
polinomu 'nin elemanı mı?
Neden?
derecesi en fazla 2 olan polinomlar. 3. dereceden, o 'te.
Ek örnekler
Ex'de toplama normal, ama skaler çarpım tuhaf: . Vektör uzayı mı?
Kitapta bu tür sorular çok. Kurallara tek tek bak: (8) olmalı. Ama . Değil. Tuhaf işlem görünce önce (8)'i dene.
sen dene
İzi (trace, köşegen toplamı) 0 olan 2×2 matrisler, normal işlemlerle bir vektör uzayı mı?
Neden?
biçimindeler. İki tanesini toplarsan köşegen toplamı yine 0, sayıyla çarparsan yine 0. Sıfır matris de içinde. Evet (aslında 'nin bir alt uzayı).
sen dene
toplamasıyla vektör uzayı mı?
Neden?
Sıfır vektörü olamaz: hep ikinci bileşeni 0 olan bir vektör verir, 'e dönemez. Kural (3) bozuk.
Konu 3 · Test
Alt uzay: büyük uzayın içindeki küçük uzay
Subspaces · 4.3 · Theorem 4.3
kısaca, 'nin bir alt kümesi olsun. kendi başına bir vektör uzayıysa ona alt uzay denir. İyi haber: 10 kuralın hepsini kontrol etmene gerek yok. Sadece iki kapanma şartı yeter (Theorem 4.3).
Diğer 8 kural zaten büyük uzay 'den miras geliyor.
Üç adımlı tarif
Sıfır testi. mi? Değilse hemen "alt uzay değil" de. (Bedava eleme.)
Toplama.'den iki genel eleman al (harflerle), topla, toplam 'nin kuralına uyuyor mu bak.
Skaler çarpım. Genel bir elemanı ile çarp, hâlâ 'de mi bak.
Ex, 'ün alt uzayı mı?
: üçüncü bileşen 0 ✓
: üçüncü bileşen hâlâ 0 ✓
✓
Evet, alt uzay. Geometrik olarak xy-düzlemi.
Ex alt uzay mı?
Hayır. Sıfır vektörünün üçüncü bileşeni 0, 1 değil. Sıfır testinde elendi. (Ayrıca 'in üçüncü bileşeni 2.)
Ex alt uzay mı?
Sıfır testini geçiyor, ama hayır. ve içeride. Toplamları : , dışarıda.
Çok önemli alt uzay: homojen sistemin çözümleri
bir m×n matris olsun. 'ın bütün çözümleri 'in bir alt uzayıdır. Buna çözüm uzayı (solution space, null space) denir. Çünkü ve ise ve .
ama A x = b, b ≠ 0 ise çözüm kümesi alt uzay değildir: x = 0 çözüm olmaz
'ün alt uzayları
Neye benzer?
tek nokta (orijin)
orijinden geçen doğrular
biçimindeki noktalar
orijinden geçen düzlemler
'ün kendisi
bütün uzay
Tuzak
"Orijinden geçmeyen" hiçbir doğru ya da düzlem alt uzay değildir. alt uzay, değil. Formülde sabit terim (yalnız sayı) gördüğünde sıfır testine bak.
subspace alt uzaysubset alt kümenonempty boş olmayansolution space çözüm uzayıpasses through the origin orijinden geçer
sen dene
, 'ün alt uzayı mı?
Çözüm
Sıfır: ✓. Toplama: ✓. Çarpma: ✓. Orijinden geçen bir düzlem.
sen dene
, 'nin alt uzayı mı?
Çözüm
Sıfır içeride ve toplama kapalı, ama skaler çarpım bozuluyor: fakat .
sen dene
'de alt uzay mı?
Çözüm
Sıfır polinomunun sabit terimi 0, 1 değil. Sıfır testinde elendi.
Ek örnekler
ExSimetrik 2×2 matrisler () 'nin alt uzayı mı?
Genel eleman . Sıfır matris simetrik ✓. İki simetrik matrisin toplamı simetrik ✓, katı simetrik ✓. Alt uzay.
Ex'de ve
: sıfır polinomu ✓; ✓; ✓ → alt uzay. : sıfır polinomunda → değil. Kural: "= 0" şartları genelde alt uzay, "= 1" şartları değil.
sen dene
, 'nin alt uzayı mı?
Neden?
, ama ve . Skaler çarpım bozuk. (Parabol orijinden geçse de doğru değil.)
sen dene
, 'ün alt uzayı mı?
Neden?
İlk bileşeni 0 olanlar: toplayınca ve çarpınca ilk bileşen 0 kalıyor, sıfır da içeride. yz-düzlemi.
Konu 4 · Germe
Lineer kombinasyon ve span
Linear combinations, span · 4.3–4.4 · Definitions 4.6–4.8
kısaca = bu vektörlerle yapabileceğin bütün lineer kombinasyonlar. Elindeki vektörlerin "ulaşabildiği" her yer. Span her zaman bir alt uzaydır (Theorem 4.4).
ise "S, V'yi gerer" (S spans V) denir.
Soru tipi 1: Bu vektör span'in içinde mi?
yaz.
Bileşen bileşen eşitle: bir denklem sistemi çıkar.
Genişletilmiş matrisi (augmented matrix) satır indirge. Vektörler sütun olur, en sağa gelir.
Çözüm varsa (consistent) içinde, satırı çıkarsa değil.
Ex, , , 'ın lineer kombinasyonu mu?
İndirgersen çıkar. Kontrol et:
Evet, içinde. Cevabı hep yerine koyarak kontrol et, iki saniye sürer.
Ex, 'nin içinde mi?
Her iki vektörün de ortası 0. Ne yaparsan yap ortası 0 kalır. 'in ortası 1, yani değil. (Sistemi kurarsan satırı çıkar.)
Soru tipi 2: Bu vektörler bütün uzayı gerer mi?
, 'i geriyor mu? Vektörleri sütun olarak bir matrise koy ve indirge. Her satırda bir pivot varsa geriyor. Kare matris çıkarsa daha kısası: determinant ≠ 0 ise geriyor.
ExYukarıdaki 'ü gerer mi?
Evet, gerer. 'teki her vektör bunların bir kombinasyonu.
Sayma hilesi
'i germek için en az n vektör lazım. 2 vektör 'ü asla geremez: en fazla bir düzlem yapar. Soruda vektör sayısı boyuttan azsa hesap yapmadan "hayır" de, sebebini de yaz.
linear combination lineer kombinasyonspan germe, gerdiği uzayspans V V'yi gererspanning set gerici kümeaugmented matrix genişletilmiş matris
sen dene
ise kaç?
Çözüm
, . Çıkar: , sonra . Kontrol: ✓
sen dene
'ü gerer mi?
Neden?
İki vektör 'ü geremez, en az 3 lazım. İkisi orijinden geçen bir düzlem gerer.
sen dene
, içinde mi? ('de)
Çözüm
. Katsayılar 1 ve 2. Dikkat: span sadece sabit terimi 0 olan polinomları içerir, mesela içinde değil.
kısacaVektörlerden biri diğerlerinin kombinasyonuyla yazılabiliyorsa o vektör "fazlalık"tır: kümeye yeni bir yön katmıyor. Böyle bir fazlalık varsa küme bağımlı (dependent), hiç yoksa bağımsız (independent).
Bağımsız: bu denklemin tek çözümü . Bağımlı: hepsi sıfır olmayan bir çözüm de var (not all zero).
Neden "fazlalık" ile aynı şey? Derste gösterildi: diyelim . Denklemde 'ü yalnız bırak ve 'e böl:
Yani diğerlerinin kombinasyonu. Kitapta bu Theorem 4.7.
Tarif (her zaman çalışır)
yaz.
Vektörleri sütun yaparak matrisi kur (homojen sistem, sağ taraf 0).
Satır indirge.
Serbest değişken yok → sadece sıfır çözüm → bağımsız. Serbest değişken var → bağımlı.
Konu 0'da bu sistemi zaten indirgedik: . Serbest değişken var, yani bağımlı. alırsan:
Ex 2'te , , bağımsız mı?
−r₁+r₃ → r₃ −2r₁+r₄ → r₄−r₂+r₃ → r₃ −2r₂+r₄ → r₄
Üçüncü satır: → . Sonra , . Her sütunda pivot var, serbest değişken yok: bağımsız. (Notta bu örnek yarıda kalmıştı, sonucu bu.)
Ex 3'de , , bağımlı mı?
matrisinin dört kutusunu ayrı ayrı sıfıra eşitle:
Sol alttan . Sol üstten . Sağ altta yerine koy: , yani , dolayısıyla . Tek çözüm sıfır: bağımsız.
Notta bir hata varNottaki bu örnekte birkaç katsayı kaymış (mesela sağ üst kutu yazılmış ama 'nin sağ üstü 2, yani olmalı) ve dört denklemden biri düşmüş. Bu yüzden notta "sonsuz çözüm, bağımlı" çıkmış. Matrisler tahtadakiyle aynıysa doğru cevap bağımsız. Matrisleri yanlış okuduysan aşağıdaki kontrol aracına tahtadaki sayıları gir, sonucu kendin gör.
Ex 4'de , ,
yaz ve , , sabit terimleri ayrı ayrı topla:
(Ödev olarak bırakılan indirgemenin sonucu:) , , . Sonsuz çözüm, bağımlı. için , yani aslında . Topla da gör!
Polinom ve matris soruları
Polinomu katsayı vektörüne çevir: . Matrisi kutularını sırayla yazarak vektöre çevir: . Sonra her şey sorusu olur.
kontrol aracı · bağımsız mı?
Her satıra bir vektör yaz (sayıları boşlukla ayır). Polinom ya da matris için katsayıları sırayla yaz. Önce kâğıtta çöz, sonra buradan kontrol et.
linearly dependent lineer bağımlılinearly independent lineer bağımsıznot all zero hepsi sıfır değilnontrivial solution sıfır olmayan çözümdetermine whether … olup olmadığını belirle
sen dene
Neden?
. Biri diğerinin katı. Bağıntı: .
sen dene
Neden?
Sıfır vektörü var. ve katsayılardan biri (5) sıfır değil.
sen dene
'te 4 vektör:
Neden?
'te 3'ten fazla vektör her zaman bağımlıdır. Burada açıkça .
sen dene
Neden?
Üçüncüsü ilk ikisinin toplamı: . Determinant da 0 çıkar.
sen dene
ve bağımlı olsun. kaç?
Çözüm
İki vektör bağımlıysa biri diğerinin katıdır: → → . Ya da .
sen dene
, , hangi değerinde bağımlı olur?
Çözüm
. Bağımlı ⇔ det = 0 ⇔ .
sen dene
'de
Neden?
İlk ikisini topla: . Üçüncüsü fazlalık.
Ek örnekler
Ex bağımsız mı? Bağımlıysa bağıntı yaz.
→ bağımlı. Sistemi çözünce . : ✓
Ex'de
İlk ikisini topla: , tam üçüncüsü. Bağımlı. Sınavda önce böyle basit bir toplam ya da kat var mı diye bak, sonra sisteme geç.
sen dene
, , hangi için bağımlı?
Çözüm
Sütunlara yaz: . Sıfır olsun: −1.
sen dene
'de
Neden?
diğer ikisinde hiç yok, onu kimse üretemez. ile birbirinin katı değil. Determinant 2 ≠ 0: bağımsız.
Konu 6 · Bugün başladı
Taban: hem yeten hem fazlası olmayan küme
Basis · 4.6 · Definition 4.10
kısacaTaban, uzayın "minimum malzeme listesi"dir. Her vektörü yapabilecek kadar malzeme var (gerer), ama hiçbir malzeme fazlalık değil (bağımsız).
İki şart birden. Biri eksikse taban değil.
Doğal (standart) tabanlar
Uzay
Doğal taban (natural basis)
Kaç eleman?
2
3
3
n + 1
4
Bir uzayın birçok tabanı olabilir. Mesela de 'nin tabanıdır.
Tabanın süper gücü: tek türlü yazılış
Theorem 4.8: bir tabansa, 'deki her vektör 'nin elemanlarıyla bir ve yalnız bir şekilde yazılır. O katsayılara vektörün o tabandaki koordinatları denir.
Taban mı? Hızlı kontrol (Theorem 4.12)
Say. Vektör sayısı boyuta eşit mi? ( için 3, için 3, için 4.) Eşit değilse taban değil.
Sayı tutuyorsa sadece birini kontrol etmen yeter: ya bağımsız ya da gerer. İkisi birlikte gelir.
Kare matris için en hızlısı: ise taban.
Ex, için taban mı? Tabansa 'ün koordinatlarını bul.
3 vektör, : sayı tutuyor. Determinant:
Taban. (Vektörleri sütun olarak yazdık.)
Koordinatlar: .
1. bileşen:
2. bileşen:
3. bileşen: →
Son ikisini topla: → , . Koordinatlar (1, 0, 1)
Tuzak
"Bağımsız" tek başına yetmez: bağımsız ama 'ü germez. "Gerer" de tek başına yetmez: 'yi gerer ama bağımlı. Sayı doğruysa Theorem 4.12 seni kurtarır.
basis taban (çoğulu bases)natural / standard basis doğal tabancoordinates koordinatlarunique tekform a basis taban oluşturur
sen dene
, için taban mı?
Neden?
: bağımlı. Determinant .
sen dene
, için taban mı?
Neden?
2 vektör, : sayı tutuyor. Determinant .
sen dene
, için taban mı?
Neden?
zaten 'de değil. Ayrıca 'nin boyutu 3, burada 4 eleman var. (Bu küme 'ün tabanı.)
sen dene
tabanında vektörünün ilk koordinatı kaç?
Çözüm
→ , . Taraf tarafa topla: → , sonra . Kontrol: ✓. İlk koordinat 2.
kısacaBir uzayın bütün tabanlarında aynı sayıda vektör vardır. Bu sayıya uzayın boyutu (dimension) denir: . Boyut, "kaç bağımsız yön var?" sorusunun cevabı.
Uzay
Boyut
Hafıza ipucu
bileşen sayısı
'den 'e kadar, sabit terimi unutma!
kutu sayısı
0
tabanı boş küme
Boyutun verdiği bedava bilgiler
ise:
'den fazla vektör → bağımlı (Theorem 4.10).
'den az vektör → geremez.
Tam vektör → bağımsız ⇔ gerer ⇔ taban (Theorem 4.12).
Bir alt uzayın tabanı ve boyutu
Ex için bir taban ve ?
Genel elemanı serbest harflere göre ayır:
Taban : geriyorlar (her eleman böyle yazılıyor) ve biri diğerinin katı değil. .
kısayol: genel elemandaki serbest harf sayısı = boyut (harfler birbirinden bağımsızsa)
Span için taban: pivot sütunlarını seç (Theorem 4.9)
Vektörleri sütun olarak bir matrise yaz.
Merdiven biçimine indirge.
Pivot hangi sütunlardaysa, orijinal vektörlerden o sütundakileri al. Taban bu.
Ex. için bir taban ve boyut?
⟶
Pivotlar 1. ve 3. sütunda. Taban: , boyut 2. Neden diğerleri gitti? ve . İkisi de fazlalık.
Dikkat
Tabanı indirgenmiş matristen değil, orijinal vektörlerden al. Satır işlemleri sütunları değiştirir ama hangi sütunların bağımsız olduğunu değiştirmez.
Bağımsız kümeyi tabana tamamlama (Theorem 4.11)
Elinde bağımsız ama az vektör varsa, doğal tabandan vektörler ekle ve fazlalık çıkanları at. Mesela 'ı 'ün tabanına tamamla: 'ü pivot yöntemiyle süz. Sonuç: .
dimension boyutfinite-dimensional sonlu boyutlupivot columns pivot sütunlarıextend to a basis tabana tamamlamaximal independent subset en büyük bağımsız alt küme
sen dene
kaç?
Çözüm
2×3 = 6 kutu, her kutu bir yön: 6.
sen dene
kaç?
Çözüm
Taban : 4. (n + 1 kuralı. 3 diyen sabit terimi unutmuştur.)
sen dene
alt uzayının boyutu kaç?
Çözüm
Genel eleman . İki serbest harf, iki bağımsız vektör: 2.
sen dene
kaç boyutlu?
Çözüm
ve . Geriye kalır: 2.
Ek örnekler
ExSimetrik 2×2 matrislerin boyutu?
. 3 serbest harf, 3 bağımsız matris: boyut 3.
Ex için taban ve boyut?
demek sabit terim 0: . Taban , boyut 2.
sen dene
Üst üçgen 2×2 matrislerin () boyutu?
Çözüm
3 serbest harf (): 3.
sen dene
alt uzayının boyutu?
Çözüm
: 2.
Konu 8 · Uygulama
Homojen sistemin çözüm uzayı: taban ve boyut
Homogeneous systems, null space · 4.7
kısaca'ın çözümleri bir alt uzay (Konu 3). Tabanını bulmak çok kolay: her serbest değişken bir taban vektörü verir.
'yı RREF'e indirge.
Serbest değişkenlere harf ver:
Pivot değişkenlerini bu harflerle yaz.
Çözümü diye ayır. Parantezdeki vektörler taban, sayıları boyut.
Ex sisteminin çözüm uzayı için taban ve boyut?
Pivotlar ve 'te. Serbest: , .
, . Ayır:
Taban: bu iki vektör. Boyut (nullity) = 2 = serbest değişken sayısı.
null space sıfır uzayı, çekirdeknullity sıfırlık (çözüm uzayının boyutu)homogeneous system homojen sistemgeneral solution genel çözüm
5×5 bir matrisin rankı 4. Determinantı için ne söylenir?
Neden?
Rank → tersinir değil → det = 0. (Büyük denklik listesi.)
Konu 10 · Prova
Soru tipini tanı, sonra prova
Which method? · practice test
Soru diyor ki
Yapacağın şey
"Is W a subspace of V?"
Sıfır testi → toplama → skaler çarpım. Değilse somut karşı örnek ver.
"Is v a linear combination of …" / "Is v in span S?"
Genişletilmiş matris, çözüm var mı bak.
"Does S span V?"
Vektör sayısı ≥ boyut mu? Kare ise det ≠ 0 mı?
"Determine whether … linearly independent"
Kısa yollar (sıfır vektörü, kat, fazla vektör). Yoksa homojen sistem, serbest değişken var mı?
"Is S a basis for V?"
Önce say. Sayı tutuyorsa det ya da bağımsızlık.
"Find a basis for span S" / "find dim"
Sütunlara yaz, indirge, pivot sütunlarındaki orijinal vektörler.
"Find a basis for the solution space"
RREF, serbest değişkenlere harf, vektörlere ayır.
Polinom ya da matris var
Katsayı vektörüne çevir, sonra aynı yöntem.
Prova sınavı (kitap tarzı sorular)
Üç deneme var, hepsi bu bölümde sınavda en sık çıkan kalıplardan: alt uzay, span, bağımsızlık, taban, boyut, çözüm uzayı. Kâğıda çöz, süreyi başlat, sonra çözümlere bak. Her adımı yaz: "Show your work."